Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $4 x^{2} - 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.8.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Resta $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2.7

Suma $- 8 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.7.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.7.2

Mueve $8$ a la izquierda de $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.7.3

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.2

Reescribe ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ como $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3

Expande $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.2

Resta $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.6.1

Multiplica $16$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.6.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 4$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.10.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11

Expande $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $64$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.6

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.7

Multiplica $4$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.8

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.2

Suma $- 64 x^{3}$ y $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.3

Suma $256 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.2

Suma $- 128 x^{5}$ y $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.3

Resta $16 x$ de $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.1

Factoriza $8 x$ de $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.1.1

Factoriza $8 x$ de $128 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.2

Factoriza $8 x$ de $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.3

Factoriza $8 x$ de $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.4

Factoriza $8 x$ de $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.5

Factoriza $8 x$ de $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ y cuya suma es $b = 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.4.1.1

Factoriza $8$ de $8 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4.1.2

Reescribe $8$ como $- 4$ más $12$

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.6

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.5.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Paso 1.2.5.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

Paso 1.2.5.5.4

Aplica la regla del producto a $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.6

Cancela el factor común de $2 x + 1$ y ${(2 x + 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.6.1

Factoriza $2 x + 1$ de $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.6.2.1

Factoriza $2 x + 1$ de ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Paso 1.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Paso 1.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7

Cancela el factor común de $2 x - 1$ y ${(2 x - 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.7.1

Factoriza $2 x - 1$ de $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.7.2.1

Factoriza $2 x - 1$ de ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Paso 1.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Paso 1.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $4 x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Establece $4 x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $4 x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = - 3$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $4 x^{2} = - 3$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Paso 2.3.3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.1

Reescribe $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Paso 2.3.3.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Paso 2.3.3.2.4.1.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 2.3.3.2.4.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Paso 2.3.3.2.4.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.3

Combina $\frac{i}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3.3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3.3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3.3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Paso 3.1.2.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $8$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 0.8$ por $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 0.2$ y $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Resta $1$ de $- 0.2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $0.8$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

Paso 5.2.2.6

Eleva $- 1.2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $0.512$ por $- 1.728$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

Paso 5.2.3.2

Divide $- 2.432$ por $- 0.884736$ .

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $2.74884259$ .

$2.74884259$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $2.74884259$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $8$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $0.8$ por $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0.2$ y $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Resta $1$ de $0.2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $1.2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

Paso 6.2.2.6

Eleva $- 0.8$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $1.728$ por $- 0.512$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

Paso 6.2.3.2

Divide $2.432$ por $- 0.884736$ .

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 2.74884259$ .

$- 2.74884259$

Paso 6.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 2.74884259$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 8