Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Paso 2.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 3)}^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 3$ de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.6.2

Cancela el factor común.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.16

Combina $6$ y $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.17

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.17.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.2.17.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$- 18 x^{2} = - 18$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 18 x^{2} = - 18$ por $- 18$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 18 x^{2} = - 18$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 18$ por $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Paso 3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (1) = \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ es $(1, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, \frac{1}{4})$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ es $(- 1, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \frac{1}{4})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 18$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $- 21.78$ y $18$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1.21$ y $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $4.21$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Paso 6.2.3

Divide $- 3.78$ por $74.618461$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.0506577$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 18$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $0$ y $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $18$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.\overline{6}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 18$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 8.2.1.3

Suma $- 21.78$ y $18$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $1.21$ y $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $4.21$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Paso 8.2.3

Divide $- 3.78$ por $74.618461$ .

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Paso 8.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 0.0506577$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ .

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Paso 10