Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 7}$ como ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.1.3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Paso 1.1.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 7)}^{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 7$ de $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 7$ de $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18

Simplifica.

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Paso 1.2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.3

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2} + 14$ .

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Paso 1.2.18.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.3.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 7)$ como $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.18.10

Multiplica $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 7$ por $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 7$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Paso 2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{3}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Paso 2.3.5.4.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

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Paso 3.1.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Paso 3.1.2.1.5

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.1.2.1.6

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.1.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.8.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Paso 3.1.2.1.8.2

Suma $7$ y $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $\frac{3}{28}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ es $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Paso 3.3.2.1.7

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.3.2.1.8

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.1.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.10.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Paso 3.3.2.1.10.2

Suma $7$ y $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $\frac{3}{28}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ es $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.62752523$ en la expresión.

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $2.64883837$ y $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $9.64883837$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Paso 5.2.3.2

Divide $1.89303027$ por $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $0.00210732$ .

$0.00210732$

Paso 5.3

En $- 1.62752523$ , la segunda derivada es $0.00210732$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 14$ y $343$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $7$ de $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $7$ de $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 0.04081632$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.62752523$ en la expresión.

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $2.64883837$ y $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $9.64883837$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Paso 7.2.3.2

Divide $1.89303027$ por $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.00210732$ .

$0.00210732$

Paso 7.3

En $1.62752523$ , la segunda derivada es $0.00210732$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Paso 9