Cálculo Ejemplos

$y = x - \sin (x)$

Paso 1

Escribe $y = x - \sin (x)$ como una función.

$f (x) = x - \sin (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 3.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.5

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.8

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de en $f (x) = x - \sin (x)$ es $(,)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(,)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty,)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.09983341$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty,)$ .

Decrecimiento en $(- \infty,)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Paso 7.2

La respuesta final es $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.09983341$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(, \infty)$ .

Incremento en $(, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(,)$ .

$(,)$

Paso 9