Cálculo Ejemplos

$y = 6 x^{4} + 8 x^{3}$

Paso 1

Escribe $y = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ como una función.

$f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} + 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} + 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$72 x^{2} + 24 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 48 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $72 x^{2} + 48 x$ .

$72 x^{2} + 48 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $72 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$72 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $24 x$ de $72 x^{2} + 48 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $24 x$ de $72 x^{2}$ .

$24 x (3 x) + 48 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $24 x$ de $48 x$ .

$24 x (3 x) + 24 x (2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $24 x$ de $24 x (3 x) + 24 x (2)$ .

$24 x (3 x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $24 x (3 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = 6 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{16}{3^{4}}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{16}{81}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (2) (\frac{16}{81}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.6.2

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{16}{3 \cdot 27})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{16}{3 \cdot 27})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = 2 (\frac{16}{27}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.7

Combina $2$ y $\frac{16}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 16}{27} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.8

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Paso 4.3.2.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Paso 4.3.2.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Paso 4.3.2.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Paso 4.3.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{8}{3^{3}})$

Paso 4.3.2.1.12

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{8}{27})$

Paso 4.3.2.1.13

Multiplica $8 (- \frac{8}{27})$ .

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Paso 4.3.2.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} - 8 (\frac{8}{27})$

Paso 4.3.2.1.13.2

Combina $- 8$ y $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + \frac{- 8 \cdot 8}{27}$

Paso 4.3.2.1.13.3

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + \frac{- 64}{27}$

Paso 4.3.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} - \frac{64}{27}$

Paso 4.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 - 64}{27}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Resta $64$ de $32$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{32}{27}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $- \frac{32}{27}$ .

$- \frac{32}{27}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ es $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.7\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 \cdot 0.58\overline{7} + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 - 36.8$

Paso 6.2.2

Resta $36.8$ de $42.32$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 5.52$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $5.52$ .

$5.52$

Paso 6.3

En $- 0.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $5.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 \cdot 0.\overline{1} + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 - 16$

Paso 7.2.2

Resta $16$ de $8$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 8$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 7.3

En $- 0.\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 8$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{2}{3}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 48 (0.1)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $48$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 4.8$

Paso 8.2.2

Suma $0.72$ y $4.8$ .

$f'' (0.1) = 5.52$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $5.52$ .

$5.52$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $5.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$

Paso 10