Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.2

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 6.3.6

Para escribir $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.7

Combina $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.10

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 6.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 6.3.11.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2.2

Multiplica $e^{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2.4

Multiplica $- - \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Paso 7.2.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 7.5

Para escribir $e^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 7.6

Combina $e^{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Paso 7.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Paso 7.9

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Paso 7.10

Resta $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Paso 7.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.12

Multiplica $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.12.1

Multiplica $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Paso 7.12.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Forma decimal:

$4.57456376 \dots$