Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{- 1} u - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{- 1} u d u + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$(\frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 6.2

Evalúa $- u^{- 1}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2}) - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.5

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 6.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.6.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 2 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.7

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.8

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.10.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1 - 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.10.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (- \frac{1}{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.13

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} - (- (- 1 \cdot 1) + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} - (- - 1 + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 6.3.16

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + \frac{1}{- 2})$

Paso 6.3.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} - (1 - \frac{1}{2})$

Paso 6.3.18

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3}{2} - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{2} - \frac{2 - 1}{2}$

Paso 6.3.20

Resta $1$ de $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 6.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Paso 6.3.22

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Paso 6.3.23

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 6.3.23.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Paso 6.3.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.23.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 6.3.23.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.23.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1}$

Paso 6.3.23.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 7