Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Paso 2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Paso 2.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Paso 2.5.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{u^{4}}{4}$ en $3$ y en $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 10.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

Paso 10.2.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

Paso 10.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

Paso 10.2.5

Suma $\frac{81}{4}$ y $0$ .

$- \frac{81}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{81}{4}$

Forma decimal:

$- 20.25$

Forma de número mixto:

$- 20 \frac{1}{4}$

Paso 12