Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.1

Evalúa $x \sin (x)$ en $π$ y en $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Paso 3.1.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 3.1.3.2

Suma $π \sin (π)$ y $0$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

Paso 3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

Paso 3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

Paso 3.3.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$0 - (- \cos (π) + 1)$

Paso 3.3.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

Paso 3.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - (- - 1 + 1)$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 - (1 + 1)$

Paso 3.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Paso 3.3.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - 2$

Paso 3.3.10

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$