Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{u_{2}}{2}$ en $e^{4}$ y en $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Paso 5.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.4

Reescribe la expresión.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Paso 5.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$4 e^{4} - 4$

Forma decimal:

$214.39260013 \dots$

Paso 7