Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

Paso 1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $e^{u}$ en $\ln (4)$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

Paso 5.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

Paso 5.2.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Paso 5.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{2}$

Paso 7