Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 1.1.4

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - 4 x$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - 4 x$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Paso 1.5.2

Resta $8$ de $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 2.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $- 7$ y en $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 6.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Paso 6.2.7

Resta $1$ de $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Paso 6.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Paso 6.2.10

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Paso 6.2.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Paso 6.2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{344}{12}$

Paso 6.2.13

Cancela el factor común de $344$ y $12$ .

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Paso 6.2.13.1

Factoriza $4$ de $344$ .

$\frac{4 (86)}{12}$

Paso 6.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Paso 6.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Paso 6.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{86}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{86}{3}$

Forma decimal:

$28.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$28 \frac{2}{3}$

Paso 8