Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(2 t - 1)}^{2} d t$

Paso 1

Sea $u = 2 t - 1$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 2 t - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $2 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{1} u^{2} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{1}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Paso 5.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Paso 5.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{3}$

Paso 5.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 5.2.8

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$

Paso 7