Cálculo Ejemplos

$\int x {(x - 4)}^{9} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u + 4) u^{9} d u$

Paso 2

Multiplica $(u + 4) u^{9}$ .

$\int u \cdot u^{9} + 4 u^{9} d u$

Paso 3

Multiplica $u$ por $u^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $u$ por $u^{9}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{9} + 4 u^{9} d u$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 9} + 4 u^{9} d u$

Paso 3.2

Suma $1$ y $9$ .

$\int u^{10} + 4 u^{9} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{10} d u + \int 4 u^{9} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{10}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int 4 u^{9} d u$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 \int u^{9} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{11} u^{11} + 4 (\frac{1}{10}) u^{10} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{4}{10} u^{10} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 (2)}{10} u^{10} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2}{5} u^{10} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$\frac{1}{11} {(x - 4)}^{11} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{10} + C$