Cálculo Ejemplos

$\int \arctan (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (2 x)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = 4 x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$8 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Paso 6.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 1$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$