Cálculo Ejemplos

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$5 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 5$ .

$\frac{- 5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{15}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$