Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{2} x^{2} + x - 6 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}$ y $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 5.1.2

Combina $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ y $- 6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ en $2$ y en $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.6

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.7

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.9.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{8 + 6}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.9.2

Suma $8$ y $6$ .

$\frac{14}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.10

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{14}{3} - 12 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.11

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.12

Combina $- 12$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 - 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.14.1

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$\frac{14 - 36}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.14.2

Resta $36$ de $14$ .

$\frac{- 22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.16

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.17

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 27}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.18

Cancela el factor común de $- 27$ y $3$ .

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Paso 5.2.2.18.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.18.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.18.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.18.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.18.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.19

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.20

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.21

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.22

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.24

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.24.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 18 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.24.2

Suma $- 18$ y $9$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Paso 5.2.2.26

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18)$

Paso 5.2.2.27

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.28

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 18 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.30

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.30.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 36}{2}$

Paso 5.2.2.30.2

Suma $- 9$ y $36$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{27}{2}$

Paso 5.2.2.31

Para escribir $- \frac{22}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 5.2.2.32

Para escribir $- \frac{27}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.2.33

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.2.33.1

Multiplica $\frac{22}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.2.33.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.2.33.3

Multiplica $\frac{27}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.2.33.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6}$

Paso 5.2.2.34

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 22 \cdot 2 - 27 \cdot 3}{6}$

Paso 5.2.2.35

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.35.1

Multiplica $- 22$ por $2$ .

$\frac{- 44 - 27 \cdot 3}{6}$

Paso 5.2.2.35.2

Multiplica $- 27$ por $3$ .

$\frac{- 44 - 81}{6}$

Paso 5.2.2.35.3

Resta $81$ de $- 44$ .

$\frac{- 125}{6}$

Paso 5.2.2.36

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{125}{6}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{125}{6}$

Forma decimal:

$- 20.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$- 20 \frac{5}{6}$

Paso 7