Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Paso 3

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ y $9 x]_{2}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ en $4$ y en $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $64$ .

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.4

Para escribir $36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.5

Combina $36$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.7.1

Multiplica $36$ por $3$ .

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7.2

Suma $64$ y $108$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.11

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.14.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14.2

Suma $8$ y $54$ .

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16

Resta $62$ de $172$ .

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.17

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

Paso 7.2.3.20

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.20.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Paso 7.2.3.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.20.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Paso 7.2.3.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

Paso 7.2.3.20.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

Paso 7.2.3.21

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

Paso 7.2.3.22

Resta $2$ de $8$ .

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

Paso 7.2.3.23

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$\frac{110}{3} - 36$

Paso 7.2.3.24

Para escribir $- 36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.25

Combina $- 36$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.27

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.27.1

Multiplica $- 36$ por $3$ .

$\frac{110 - 108}{3}$

Paso 7.2.3.27.2

Resta $108$ de $110$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$

Paso 9