Cálculo Ejemplos

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ y $- 8 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ en $2$ y en $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.4

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.4.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.6

Resta $8$ de $2$ .

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.11

Para escribir $- 16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.12

Combina $- 16$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.14.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.14.2

Resta $48$ de $8$ .

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.16

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.17

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 64$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Paso 7.2.3.19

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

Paso 7.2.3.20

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 7.2.3.21

Combina $32$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

Paso 7.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.23.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

Paso 7.2.3.23.2

Suma $- 64$ y $96$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

Paso 7.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

Paso 7.2.3.25

Resta $32$ de $- 40$ .

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

Paso 7.2.3.26

Cancela el factor común de $- 72$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.26.1

Factoriza $3$ de $- 72$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

Paso 7.2.3.26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.26.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

Paso 7.2.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

Paso 7.2.3.26.2.4

Divide $- 24$ por $1$ .

$- 12 - 24$

Paso 7.2.3.27

Resta $24$ de $- 12$ .

$- 36$

Paso 8