Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Expande ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5.5

Mueve $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5.6

Mueve $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.11

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 5.13

Suma $2$ y $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 5.14

Resta $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 5.15

Reordena $- 2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Paso 5.16

Mueve $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Paso 10

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Paso 12

Combina $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ y $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5} + u$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.5

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.7

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.10

Suma $\frac{6}{5}$ y $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 13.3.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 13.3.13

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 13.3.13.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 13.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 13.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 13.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 13.3.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 13.3.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 13.3.15

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Paso 13.3.16

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Paso 13.3.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Paso 13.3.18

Para escribir $\frac{6}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 13.3.19

Para escribir $- \frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 13.3.20

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.3.20.1

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 13.3.20.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 13.3.20.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Paso 13.3.20.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Paso 13.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Paso 13.3.22

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.22.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Paso 13.3.22.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Paso 13.3.22.3

Resta $10$ de $18$ .

$\frac{8}{15}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{15}$

Forma decimal:

$0.5\overline{3}$