Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 6

Expande ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 6.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 6.5

Mueve $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 6.6

Mueve $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.11

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 6.13

Suma $2$ y $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 6.14

Resta $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 6.15

Reordena $- 2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Paso 6.16

Mueve $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 12

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Paso 14

Combina $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ y $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Paso 15

Sustituye y simplifica.

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Paso 15.1

Evalúa $\frac{u^{5}}{5} + u$ en $0$ y en $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Paso 15.2

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3

Simplifica.

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Paso 15.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 15.3.2.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.7

Suma $1$ y $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.8

Resta $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.10

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 15.3.10.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.3.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 15.3.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Paso 15.3.12

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Paso 15.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Paso 15.3.14

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Paso 15.3.15

Para escribir $- \frac{6}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 15.3.16

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 15.3.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.3.17.1

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 15.3.17.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 15.3.17.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Paso 15.3.17.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Paso 15.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Paso 15.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 15.3.19.1

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Paso 15.3.19.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Paso 15.3.19.3

Suma $- 18$ y $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Paso 15.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{8}{15}$

Paso 15.3.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Paso 15.3.22

Multiplica $\frac{8}{15}$ por $1$ .

$\frac{8}{15}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{15}$

Forma decimal:

$0.5\overline{3}$