Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{2 x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{2}{3} d x$ , de modo que $\frac{3}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{2 x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Paso 1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Paso 1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Paso 1.3.1.2.4

Divide $2 \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $2$ y $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Paso 1.5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1

Reduce la expresión $\frac{2 π}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Paso 1.5.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Paso 2.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Paso 2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 5

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Paso 6.4

Suma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$1.29903810 \dots$