Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A x + B$ por $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ y $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.6.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Paso 1.1.6.2.2.4

Divide $(C x + D) (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Paso 1.1.6.3

Expande $(C x + D) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Paso 1.1.6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Paso 1.1.6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Paso 1.1.6.4.3

Multiplica $D$ por $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Paso 1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.7.1

Mueve $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Paso 1.1.7.2

Mueve $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Paso 1.1.7.3

Mueve $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = D$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + C$

Paso 1.2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + D$

Paso 1.2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Paso 1.3.2.2

Reemplaza todos los casos de $C$ en $1 = A + C$ por $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $1 = A + 0$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.3.1.1

Elimina los paréntesis.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Paso 1.3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.3.2.1

Suma $A$ y $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $D$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Paso 1.3.3.2

Reemplaza todos los casos de $D$ en $0 = B + D$ por $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.3.3

Simplifica $0 = B + 0$ .

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Paso 1.3.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Elimina los paréntesis.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Suma $B$ y $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Reescribe la ecuación como $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3

Divide $0$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Paso 1.5.4

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$