Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 4 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6.1.2

Divide $A (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Paso 2.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Paso 2.1.6.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.6.1

Mueve $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 2.1.6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Paso 2.1.7

Mueve $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A$

Paso 2.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Paso 2.3.4

Resuelve $B$ en $0 = \frac{1}{4} + B$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4} + B = 0$ .

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Paso 2.3.4.2

Resta $\frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Paso 2.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

Paso 2.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.2.2

Suma $- \frac{x}{4}$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2} + 4}$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

Paso 2.5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Paso 2.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Paso 2.5.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

Paso 8

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 8.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 8.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\ln (| x^{2} + 4 |)$ y $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.2

Para escribir $\frac{\ln (| x |)}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $\frac{\ln (| x |)}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

Paso 15.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 15.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

Paso 15.5.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

Paso 15.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Paso 15.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$