Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$ como $- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$- \frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$