Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x^{3} + x$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Paso 1.1.1.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Paso 1.1.1.3.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2.2

Divide $(x + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.2

Suma $- x$ y $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.1.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.7.6.1

Mueve $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.8

Mueve $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Paso 1.3.2

Reescribe la ecuación como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $1 = - 1 + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 6.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Paso 11

Simplifica.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$