Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{2 x}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int 1 e^{- 2 x} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$\int e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$