Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5}{9 x^{2} + 49} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 49} d x$

Paso 2

Reordena $9 x^{2}$ y $49$ .

$5 \int \frac{1}{49 + 9 x^{2}} d x$

Paso 3

Factoriza $9$ de $49 + 9 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $9$ de $49$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Paso 3.2

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Paso 3.3

Factoriza $9$ de $9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9} + x^{2})} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{9}$ y $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x$

Paso 6

Reescribe $\frac{49}{9}$ como ${(\frac{7}{3})}^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (1 (\frac{3}{7}) \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Paso 8.1.2

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $1$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Paso 8.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (x \frac{3}{7}) + C)$

Paso 8.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x \cdot 3}{7}) + C)$

Paso 8.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{3 \cdot x}{7}) + C)$

Paso 8.1.6

Combina $\frac{3}{7}$ y $\arctan (\frac{3 x}{7})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$

Paso 8.2

Reescribe $\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$ como $\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.3

Multiplica $9$ por $7$ .

$\frac{15}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de $15$ y $63$ .

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Paso 8.3.4.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (5)}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Paso 8.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$