Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{3} + 5 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + 5 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 10 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} + 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x + 10 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x + 10$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 3.2.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $24$ y $0$ .

$f''' (x) = 24$

Paso 4

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$