Cálculo Ejemplos

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 3.3.7

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 4.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$