Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 1.2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$

Paso 1.2.4.3

Reordena los factores de $18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{8})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{8}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica ${(x^{2} + 8)}^{8}$ por $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Paso 2.11.2

Multiplica $16$ por $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Paso 2.11.3

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ de $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7} + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

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Paso 2.11.3.1

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ de $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ de $18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ de $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 8)$

Paso 2.11.4

Suma $16 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{2} + 8)}^{7}$ y $g (x) = 17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 8) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $17 x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.2

Como $17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $17 x^{2}$ con respecto a $x$ es $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $17$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $34 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.3.6.2

Mueve $34$ a la izquierda de ${(x^{2} + 8)}^{7}$ .

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Mueve $7$ a la izquierda de $17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8))$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (8)))$

Paso 3.5.4

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + 0))$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x))$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6.3

Multiplica $34$ por $18$ .

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6.4

Multiplica $17$ por $14$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6.5

Multiplica $14$ por $8$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Paso 3.6.6

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ de $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.6.1

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ de $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$

Paso 3.6.6.2

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ de $18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$

Paso 3.6.6.3

Factoriza $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ de $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Paso 3.6.7

Reordena los factores de $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$ .

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 8 + 238 x^{2} + 112))$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $34$ por $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 272 + 238 x^{2} + 112))$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1.2.1

Suma $34 x^{2}$ y $238 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 272 + 112))$

Paso 4.1.2.2

Suma $272$ y $112$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Paso 4.1.3

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)]$ .

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x {(x^{2} + 8)}^{6}$ y $g (x) = 272 x^{2} + 384$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 384) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $272 x^{2} + 384$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3.2

Como $272$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $272 x^{2}$ con respecto a $x$ es $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $272$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3.5

Como $384$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $384$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.3.6

Suma $544 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.7.2

Mueve $544$ a la izquierda de $x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 4.8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{6}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Paso 4.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10

Diferencia.

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Paso 4.10.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.10.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (12 {(x^{2} + 8)}^{5} x) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.14

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 1))$

Paso 4.16

Multiplica ${(x^{2} + 8)}^{6}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$ .

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$