Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - \sec^{2} (u) d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 3

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$- (\tan (u) + C)$

Paso 4

Simplifica.

$- \tan (u) + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- \tan (\frac{1}{x}) + C$