Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln ({(x)}^{7})}{x} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x^{7})}{x}$ como $\frac{7 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{7 \ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$7 \int u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $7 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $7 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$7 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 5.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} u^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{7}{2} \ln^{2} (x) + C$