Cálculo Ejemplos

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $10 y^{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{9} y^{5}$ con respecto a $x$ es $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $9$ por $10$ .

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $7 y^{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{4} y^{8}$ con respecto a $x$ es $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $90 y^{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $90 x^{8} y^{5}$ con respecto a $x$ es $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $8$ por $90$ .

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $28 y^{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 y^{8} x^{3}$ con respecto a $x$ es $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $28$ .

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $720 y^{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $720 x^{7} y^{5}$ con respecto a $x$ es $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $7$ por $720$ .

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $84 y^{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $84 y^{8} x^{2}$ con respecto a $x$ es $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $84$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $5040 y^{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5040 x^{6} y^{5}$ con respecto a $x$ es $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Paso 4.2.3

Multiplica $6$ por $5040$ .

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

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Paso 4.3.1

Como $168 y^{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $168 y^{8} x$ con respecto a $x$ es $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

Paso 4.3.3

Multiplica $168$ por $1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$