Cálculo Ejemplos

$y = {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = 8 x^{3} + 7$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 10

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 11

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + 0)$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $24 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2})$

Paso 12.2

Combina $24$ y $\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{24 (3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Paso 12.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Paso 12.4

Combina $\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Paso 13.4

Divide $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Paso 14

Reordena los factores de $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$36 x^{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$