Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sin (8 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (8 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (8 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \cdot 1)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \cdot 8) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.3.2

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (8 x)$ .

$x^{2} (8 \cdot \cos (8 x)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (8 \cos (8 x)) + \sin (8 x) (2 x)$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$