Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{2 - \tan (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 - \tan (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 - \tan (x)$ .

$\frac{(2 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2 - \tan (x)$ por $1$ .

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{2 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{2 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.7

Multiplica.

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Paso 3.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$