Cálculo Ejemplos

$y + 16 x y - 12 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y + 16 x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 16 x y - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x y$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$y' + 16 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$y' + 16 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + 16 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' + 16 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' + 16 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 2.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' + 16 (x y' + y) + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' + 16 (x y') + 16 y + 0$

Paso 2.5.2

Suma $y' + 16 x y' + 16 y$ y $0$ .

$y' + 16 x y' + 16 y$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$16 x y' + 16 y + y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$16 x y' + 16 y + y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $16 y$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x y' + y' = - 16 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $16 x y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $16 x y'$ .

$y' (16 x) + y' = - 16 y$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (16 x) + y' = - 16 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (16 x) + y' \cdot 1 = - 16 y$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (16 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (16 x + 1) = - 16 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (16 x + 1) = - 16 y$ por $16 x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (16 x + 1) = - 16 y$ por $16 x + 1$ .

$\frac{y' (16 x + 1)}{16 x + 1} = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $16 x + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (16 x + 1)}{16 x + 1} = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{16 y}{16 x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 y}{16 x + 1}$