Cálculo Ejemplos

${(x y + 1)}^{3} = x - y^{2} + 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x y + 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x - y^{2} + 8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x y + 1$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y + 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + 0)$

Paso 2.8

Suma $x y' + y$ y $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$1 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 2 y y' + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Suma $1 - 2 y y'$ y $0$ .

$1 - 2 y y'$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y = - 2 y y' + 1$

Paso 5.1.4

Reordena los factores en $3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y$ .

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} = - 2 y y' + 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $2 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe ${(x y + 1)}^{2}$ como $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x y' ((x y + 1) (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.2

Expande $(x y + 1) (x y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y' (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$3 x y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$3 x y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.4

Multiplica $x y$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.3.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y' (x^{2} y^{2}) + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5

Simplifica.

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Paso 5.2.2.5.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.5.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.2.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2 + 1} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.5.2.1

Mueve $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 (x \cdot x) y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.5.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.7

Reescribe ${(x y + 1)}^{2}$ como $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y ((x y + 1) (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.8

Expande $(x y + 1) (x y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.9.1.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.9.1.2.1

Mueve $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.4

Multiplica $x y$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.9.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.10

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2}) + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11

Simplifica.

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Paso 5.2.2.11.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.11.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.2.2.11.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y^{1}) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{2 + 1} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.11.2.1

Mueve $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 (y \cdot y) (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.11.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 \cdot 2 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Paso 5.2.2.12.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $3 y^{3} x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $6 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x$

Paso 5.3.3

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $3 x^{3} y' y^{2}$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $6 x^{2} y' y$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $3 x y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.6

Factoriza $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.4.7

Factoriza $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ por $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ por $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y)}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 5.5.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$