Cálculo Ejemplos

$x e^{y} - 10 x + 3 y = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - 10 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{y} - 10 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.5

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reordena los términos.

$e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Paso 2.5.2

Reordena los factores en $e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$ .

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$ .

$x y' e^{y} + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{y} + 3 y' - 10 = - e^{y}$

Paso 5.2.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{y} + 3 y' = - e^{y} + 10$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x y' e^{y} + 3 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + 3 y' = - e^{y} + 10$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $3 y'$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 3 = - e^{y} + 10$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (x e^{y}) + y' \cdot 3$ .

$y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ por $x e^{y} + 3$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ por $x e^{y} + 3$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x e^{y} + 3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- e^{y} + 10}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (e^{y}) + 10}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$y' = \frac{- (e^{y}) - 1 (- 10)}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (e^{y}) - 1 (- 10)$ .

$y' = \frac{- (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (e^{y} - 10)$ como $- 1 (e^{y} - 10)$ .

$y' = \frac{- 1 (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$