Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ y ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ de ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $n$ en $- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Paso 4.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 4 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Paso 4.2.4

Multiplica $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ por $1$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Paso 4.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{2^{0}}$

Paso 4.2.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.2.7.1

Cancela el factor común.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.7.2

Reescribe la expresión.

$a = - 4 \cdot 1$

Paso 4.2.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = - 4$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{- 4}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{- 4}{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 6.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- 4}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4}{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 6.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 4}{\frac{3}{2}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 4 (\frac{2}{3})$

Paso 6.3

Multiplica $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 6.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$- 2.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$- 2 \frac{2}{3}$