Cálculo Ejemplos

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 2

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ y $g (t) = 11 t - t^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $11 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $11 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.6.3

Mueve ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $11 t - t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Paso 3.8

Como $11$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $11 t$ con respecto a $t$ es $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Paso 3.10

Multiplica $11$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Paso 3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

Paso 3.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

Paso 3.14

Simplifica.

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Paso 3.14.1

Reordena los factores de $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ .

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.14.2

Multiplica $11 - 2 t$ por $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.14.3

Mueve $2$ a la izquierda de $11 - 2 t$ .

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$