Cálculo Ejemplos

$x^{3} < 49 x$

Paso 1

Resta $49 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} - 49 x < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 49 x = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 49 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 49 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 49 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ .

$x (x^{2} - 49) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x (x^{2} - 7^{2}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza.

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Paso 3.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$x ((x + 7) (x - 7)) = 0$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 7) (x - 7) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 6.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 7

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 7.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 7) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 7, 7$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(- 10)}^{3} < 49 (- 10)$

Paso 10.1.3

$- 1000$ del lado izquierdo es menor que $- 490$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} < 49 (- 4)$

Paso 10.2.3

$- 64$ del lado izquierdo no es menor que $- 196$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} < 49 (4)$

Paso 10.3.3

$64$ del lado izquierdo es menor que $196$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{3} < 49 (10)$

Paso 10.4.3

$1000$ del lado izquierdo no es menor que $490$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 7$ o $0 < x < 7$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 7) \cup (0, 7)$

Paso 13