Cálculo Ejemplos

$\cos (2 \arctan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 \arctan (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 \arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 \arctan (x)$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) (2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)])$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 3

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{1 + x^{2}}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{1 + x^{2}} \sin (2 \arctan (x))$

Paso 4.2

Combina $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ y $\sin (2 \arctan (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$