Cálculo Ejemplos

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

Paso 10

Multiplica ${(x^{2} + 9)}^{3}$ por $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Paso 11.2

Multiplica $6$ por $8$ .

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Paso 11.3

Factoriza $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Paso 11.3.2

Factoriza $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ de $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

Paso 11.3.3

Factoriza $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ de $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

Paso 11.4

Suma $6 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.5

Reescribe ${(x^{2} + 9)}^{2}$ como $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ .

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.6

Expande $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 11.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.7.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.7.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.7.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.7.1.3

Multiplica $9$ por $9$ .

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.7.2

Suma $9 x^{2}$ y $9 x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.9

Simplifica.

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Paso 11.9.1

Multiplica $18$ por $8$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.9.2

Multiplica $8$ por $81$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

Paso 11.10

Expande $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11

Simplifica cada término.

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Paso 11.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.11.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.3

Multiplica $8$ por $7$ .

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.4

Multiplica $9$ por $8$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.11.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.7

Multiplica $144$ por $7$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.8

Multiplica $9$ por $144$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.9

Multiplica $7$ por $648$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

Paso 11.11.10

Multiplica $648$ por $9$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Paso 11.12

Suma $72 x^{4}$ y $1008 x^{4}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Paso 11.13

Suma $1296 x^{2}$ y $4536 x^{2}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$