Cálculo Ejemplos

$\ln (\sin (3 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\sin (3 x)}$ a $\csc (3 x)$ .

$\csc (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\csc (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\csc (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\csc (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) \cdot 3$

Paso 4.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\csc (3 x) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot (\csc (3 x) \cos (3 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $3 \csc (3 x) \cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x) \csc (3 x)$

Paso 5.2

Reescribe $\csc (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$

Paso 5.3

Multiplica $3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$ .

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Paso 5.3.1

Combina $\frac{1}{\sin (3 x)}$ y $3$ .

$\frac{3}{\sin (3 x)} \cos (3 x)$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{3}{\sin (3 x)}$ y $\cos (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Paso 5.4

Separa las fracciones.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Paso 5.5

Convierte de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ a $\cot (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \cot (3 x)$

Paso 5.6

Divide $3$ por $1$ .

$3 \cot (3 x)$