Cálculo Ejemplos

$x \sin (x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x^{2})$ .

$x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2})$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$2 x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})$