Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}]$ .

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{16}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{16}) x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{- 2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.5

Combina $\frac{- 2}{16}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $16$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (8)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} + 2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 4.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ .

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Paso 5.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.9

Resta $4$ de $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.11

Combina $\frac{- 2}{3}$ y $x^{- 3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.12

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

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Paso 6.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x}{8} + \frac{- 2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$