Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.14

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.15.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.15.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.15.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.16

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.18

Multiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.19

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Paso 3.20

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$