Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{1 + x^{2}}{x}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 10

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 11

Multiplica $\frac{1 + x^{2}}{x}$ por $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de $x {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 13.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

Paso 13.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

Paso 13.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$